persamaan parametrik

Bentuk umum persamaan parametri dari suatu kurva bidang adalah

kurva bidang ada 4 macam, yaitu:
(1) Kurva tertutup sederhana
(2) Kurva tertutup tidak sederhana
(3) Kurva tidak tertutup sederhana
(4) Kurva tidak terp dan tidak sederhana

Suatu kruva dikatakan tertutup apabila titik ujung pangkalnya berimpit. Suatu kurva dikatakan sederhana, apabila kurva tersebut tidak mempunyai titik potong (dua nilai atau lebih memberikan titik titik yang sama).

Persamaan parametrik suatu kurva dapat dinyatakan ke dalam persamaan Kartesius dengan cara melenyapkan parameternya. Untuk meletutunyapkan parameternya, kadang menggunakan cara substitusi atau menentukan hubungan dari parameternya.
Setiap persamaan Kartesius dapat dinyatakan sebagai persamaan parameternya dan sebaliknya kadang kadang suatu kurva dapat dinyatakan dengan persamaan parameternya yang sederhana, tetapi jika dinyatakan dalam persamaan Kartesius menjadi lebih rumit. Kurva dari suatu persamaan parametrik merupakan kurva berarah.

Persamaan kutub dan grafiknya

Grafik garis lurus yang melalui titik asal dan membentuk sudut θ dengan sumbu kutub.

garis lurus m yang berjarak d dari kutub (d>0) dann θ adalah sudut antara sumbu kutub dan garis yang tegak lurus dari kutub pada garis m. tentukan persamaan kutub untuk garis m

Dengan mengambil sembarang titik P(r,θ) pada garis m. Pada segitiga OTP dengan <POT = θ-θo maka berlaku

cos (θ-θo) = d/r
r = d / cos (θ-θo)

Karena P (r, θ) sembarang titik pada garis m dan berlaku hubungan tersebut, maka untuk setiap titik pada garis m berlaku hubungan itu.

Jadi persamaan kutub untuk garis lurus yang berjarak d dari kutub dan normalnya membentuk sudut θo dengann sumbu kutub adalah

Limason dan Kardioda

     r = a ± b cos θ , r = a ± b sin θ dengan a,b konstanta yang positif

Lemniskat

     r²= ± a cos 2θ,  r²= ± a sin 2θ dengan a suatu konstanta positif

 Mawar

    r=  a cos nθ , r=  a sin nθ dengan a suatu konstanta

Spiral

     r = aθ dengan a konstanta

Koordinat kutub

Dalam sistem koordinat kutub hanya menggunakan sebuah sinar garis sebagai patokan muka, biasanya garis ini digambar mendatar dan mengarah ke kanan seperti tampak pada gambar dibawah ini. Garis ini dinamakan sumbu kutub, sedangkan titik pangkalnya yang biasa diberi nama dengan huruf O disebut Kutub atau titik asal.

Sebuah titik P  dinyatakan kedudukan oleh jarak titik O ke P dan sudut antara garis OP dan sumbu kutub, maka (r,θ) adalah sepasang koordinat kutub dari titik P. Selanjutnya r disebut jari-jari penunjuk dari P atau radius vektor dari P. Sedangkan θ disebut argumen dari P atau sudut kutub dari P

Hubungan sistem koordinat kartesius dan sisitem koordinat kutub adalah

Koordinat Kutub	Koordinat Kartesius
P(r,θ)	P(x,y)
r = f(θ)	y = f(x)

CONTOH 1 

di ketahui koordinat kartesius A(1,2)

ditanya koordinat kutub

  CONTOH 2

Diketahui : <xOB = 135⁰  dan r = 4                                   

Ditanya : Tentukanlah koordinat B pada koordinat kartesius.

Penyelesaian :

x = r cos θ                                  y = r sin θ

x = 4 cos 135⁰                                     y = 4 sin 135⁰

x = 4 (-0,707)                             y = 4 (0,707)

x = -2,828                                  y = 2,828

Sehingga koordinat kartesius B adalah (-2,828 ; 2,828)