Vektor dalam ruang dimensi

dalam dimensi tiga suatu titik dinyatakan dengan tiga komponen, yaitu

1. absis 
2. ordinat
3. aplikat 

Misalnya B(x1, y1, z1). Vektor posisi (terhadap titik O) untuk titik B adalah a = < x1, y1, z1> = x1i, y1j, z1k.

PANJANG VEKTOR
Misalkan terdapat vektor a = < a1 , a2 , a3 > maka kita dapat mengetahui panjangnya dengan rumus :

PERKALIAN TITIK PADA VEKTOR
Jika u = < u1, u2, u3> dan v = < v1, v2, v3>, maka perkalian titiknya


Dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh u dan v dan serta 0 ≤ θ ≤ phi
Dari definisi diatass didaptkan rumus sudut yang dibentuk oleh vektor u dan v yaitu,


PERKALIAN VEKTOR
Jika u = < u1, u2, u3> dan v = < v1, v2, v3> maka perkalian kedua vektor adalah,


HASIL KALI SILANG DUA VEKTORPerkalian silang dua vektor a = a1i + a2j + a3k dan b = b1i + b2j + b3k didefinisikan sebagai berikut,




Dengan θ adalah sudut yang dibentuk kedua vektor dan u adalah vektor satun yang tegak lurus pada a dan b.

Sistem koordinat kartesius tiga dimensi

koordinat kartesius dua dimensi yang kita ketahui, yaitu sistem koordinat yang terbentuk oleh dua garis yang saling tegak lurus nah kini kita akan mempelajari Koordinat kartesius dalam dimensi tiga,maksudnya adalah tiga garis lurus yang saling tegak lurus yang dinamakan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Dari ketiga sumbu tersebut dapat ditentukan tiga bidang yaitu bidang xy, bidang xz dan bidang yz. 

Ketiga bidang membagi ruang menjadi delapan oktan, yaitu oktan-oktan I, II, III, IV, V, VI, VII dan VIII. Oktan-oktan I, II, III, dan IV berada diatas bidang xy. Sedangkan oktan-oktan V, VI, VII dan VIII berada dibawah bidang xy seperti gambar di atas

Oktan I            : (x⁺ , y^+, z⁺)                                         Oktan V          : (x⁺ , y^+, z^-)

Oktan II          : (x⁺ , y-^, z⁺)                                          Oktan VI         : (x⁺ , y^-, z^-)

Oktan III         : (x^- , y^-, z⁺)                                           Oktan VII       : (x^- , y^-, z^-)

Oktan IV         : (x^- , y^+, z⁺)                                          Oktan VIII      : (x^- , y^+, z^-)

dalam membuat titik di dimensi tiga adapun cara yang di perlukan dalam membuat P(x,y,z)

1. proyeksi bidang xy, z = 0

    A(x,y,0)

2. proyeksi bidang xz, y = 0

    B(x,0,z)

3. proyeksi bidang yz, x = 0

    C(0,y,z)

Jarak antar Titik

di misalkan

 kita akan menentukan jarak titik asal O ke titik P (x₁, y₁, z^­­₁).

|OA| = x₁

|AB| = y₁

|BP| = z₁

Perhatikan segitiga AOB yang siku-siku di A, maka :

|OB|² = |OA|² + |AB|²

|OB|² = x₁² + y₁²

Kemudian perhatikan pada segitiga OBP yang siku-siku di B berlaku bahwa :

|OP|² = |OB|² + |BP|²

|OP|^{2 =} x₁² + y₁² + z₁² (jika jarak O ke P(x₁,y₁,z₁))

Sehingga kita dapatkan bahwa untuk mencari jarak dari titik asal ke suatu titik adalah

maka dalam menentukan jarak ttitk dapat di gunakan rumus

Vektor dalam bidang

Vektor adala himpunan ruas garis berarah yang mempunyai besar dan arah yang sama.

Vektor digambarkan seperti anak panah (ruas garis berarah). Panjang ruas garis menyatakan besarnya vektor dan arah anak panah menyatakan arah vektor. 

pada gambar diatas, ruas-ruas garis berarah mempunyai besar dan arah sama, maka vektor itu dapat dinyatakan dengan simbol u atau dengan dua huruf besar. misalnya AB (diberi tanda panah diatas atau dibawah) ini dimaksudkan vektor dengan titik pangkal A dan titik ujung B. vektor ini dinamakan vektor bebas.

Suatu vektor yang titik pangkalnya tertentu dan vektor lainnya harus mempunyai titik pangkal tertentu, maka vektor dinamakan vektor posisi (vektor letak)

vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y

Vektor di R3 adalah Vektor yang terletak di

ruang dimensi tiga  Vektor yang mempunyai tiga komponen yaitu x, y dan z

Penjumlahan Vektor
a. cara segitiga
untuk memperoleh jumlah dua vektor u dan v, yaitu u + v, gambarlah vektor v yang titik pangkalnya berimpit dengan titik ujung vektor u. Maka u + v adalah vektor yang menghubungkan titik pangkal u dan titik ujung vektor v .

b. cara jajarangenjang

cara ini dengan menggambarkan vektor v sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal vektor u. selanjutnya dibuat garis dari ujung u sejajar v dan garis dari ujung v sejajar u, sehingga didapat bangun jajaran genjang. Maka u + v adalah vektor yang bertitik  pangkal berimpit dengan titik pangkal u dan berimpit diagonal jajaran genjan

Pengurangan Vektor
Pengurangan vektor aadalah u - v = u + (-v). sehingga digambarkan sebagai berikut :

Teorema :

untuk sebarang vektor u, v dan w dan sebarang skalar a dan b berlaku sifat-sifat berikut 

perkalian vektor

Teorema hasil kali titik

untuk sebarang vektor u, v dan w dan k suatu skalar berlaku sifat-sifat berikut ini