Kedudukan Titik-titik dan jarak antar dua titik

TITIK

Sebelum membahas kedudukan tiitik ,apa itu sebenarnya titik? Kita tidak asing dengan istilah titik. Bahkan setiap kita menulis kita selalu menggunakannya. Apakah sama titik dalam “dunia menulis” dengan titik dalam “dunia matematika”? Dalam “dunia menulis” titik merupakan tanda yang digunakan untuk mengakhiri sebuah kalimat, sedangkan dalam “dunia matematika” titik merupakan sesuatu yang punya kedudukan, tetapi titik tidak punya ukuran. Sama seperti dalam dunia menulis, dalam dunia matematika titik direpresentasikan dengan sebuah noktah “.”. Hanya saja dalam dunia matematika titik diberi nama dengan menggunakan huruf kapital seperti A, B, atau C, dan seterusnya. Pada gambar di bawah ini diperlihatkan dua buah titik, yaitu titik B dan titik Q. 

           Maka dapat di simpulkan bahwa ttik adalah adalah bagian terkecil dari suatu objek, yang menempati suatu tempat atau posisi, yang tidak memiliki panjang, lebar, dan tinggi, besaran, sataun

       

KEDUDUKAN TITIK TITIK

           Konsep titik diperkenalkan dalam geometri Euclid sebagai elemen yang tidak didefinisikan dan tidak memiliki dimensi panjang. Geometri Euclid hanya membahas sifat titik yang diam/tetap. Sedangkan geometri analitik juga menelaah sifat-sifat titik yang bergerak seperti yang terjadi di alam.

           Untuk menentukan letak/posisi suatu titik pada suatu bidang datar diperlukan suatu patokan mula. Patokan mula dapat diambil dari dua garis yang saling tegak lurus.

Dua garis yang saling tegak lurus pada umumnya berupa garis horizontal (sumbu x) dan garis vertical (sumbu y). Sumbu-sumbu koordinat, yaitu sumbu x dan sumbu y membagi bidang datar menjadi 4 daerah yang masing-masing disebut kuadran, yaitu kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV.

            Titik-titik pada sebuah bidang yang membentuk himpunan titik dan memenuhi suatu kriteria tertentu dinamakan kedudukan titik (locus of points). Kedudukan titik dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi. Misalnya titik-titik pada lingkaran berjari-jari 1 cm dapat dinyatakan sebagai x2 + y2 = 1. Secara geometris, hanya titik-titik berjarak 1 cm dari titik pusat lingkaran tersebut yang memenuhi kedudukan titik yang dinyatakan oleh persamaan x2 + y2 = 1. Adapun teorema-teorema dasar tentang kedudukan titik-titik (Fundamental Locus Theorems) sebagai berikut.

NO	Teorema	Sketsa
1	Teorema 1.1 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah titik P adalah sebuah lingkaran berpusat di titik P dengan ukuran panjang jari-jari d
2	Teorema 1.2 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama yaitu d dari sebuah garis l  adalah sepasang garis-garis sejajar yang masing-masing berjarak d dari garis l
3	Teorema 1.3 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebutperpendicular bisector).yang tegak lurus terhadap ruas garis  dan membagi  menjadi dua bagian sama besar
4	Teorema 1.4 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua garis yang sejajar yaitu l1 danl2 merupakan sebuah garis diantara keduanya dan sejajar dengan kedua garis tersebut.
5	Teorema 1.5 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap dua garis yang berpotongan yaitu l1 dan l2, adalaha sepasang ruas garis (disebut bisectors) yang membagi dua sama besar sudut-sudut yang yang dibentuk garis l1 dan l2
6	Teorema 1.6 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari kedua sisi sebuah sudut adalah sebuah ruas garis yang membagi dua sudut tersebut (bisector of angle)
7	Teorema 1.7 Kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari dua buah lingkaran konsentris (concentric circles) adalah sebuah lingkaran yang konsentris terhadap kedua lingkaran tersebut dan berada tepat di tengah keduanya
8	Teorema 1.8 Kedudukan titik-titik pada jarak tertentu dari sebuah lingkaran yang memiliki jari-jari lebih panjang dari jarak tersebut merupakan sebuah pasangan lingkaran konsentris, di mana masing-masing kedudukan titik tersebut berada di salah satu sisi lingkaran pada jarak tertentu tersebut.
9	Teorema 1.9 Kedudukan titik-titik yang berjarak tertentu dari suatu lingkaran berjari-jari kurang dari jarak tersebut merupakan sebuah lingkaran yang berada di luar lingkaran pertama dan saling konsentris.

berikut adalah contoh soal dari teorema dasar kedudukan titik

contoh1

        Terdapat dua buah pelampung pada sebuah danau. Seorang perenang berenang di danau tersebut sedemikian sehingga ia selalu berjarak tetap (konstan) terhadap kedua pelampung tersebut. Deskripsikan jalur renang yang ditempuh oleh perenang tersebut.

        penyelesaian dari soal tersebut dapat menggunakan polya sebagai berikut:

   1. Understanding the Problem

    a.Nyatakan masalah dengan kalimatmu sendiri !

Misalkan kedua pelampung adalah titik A dan B dan perenang adalah titik C

       Misalkan jarak C ke A adalah d_AC dan jarak C ke B adalah d_CB.

    Maka posisi perenang yaitu C terhadap A dan B adalah kumpulan titik-titik sehingga    d_CA dan d_CB selalu tetap. Berbentuk apakah kumpulan  titik-titik tersebut ?

     b.Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !

Bentuk kumpulan titik-titik sehingga d_CA dan d_CB selalu tetap.

     c. Apa saja yang tidak diketahui dari permasalahan itu ?

Jarak titik A ke B

     d. Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalahan itu ?

          Titik A dan B berbeda posisi.

      Jarak d_CA dan d_CB selalu tetap yaitu d_CA = d_CB untuk meskipun posisi C berubah-ubah.

     2.Devising a Plan

     Strategi pemecahan masalah yang mungkin dapat digunakan untuk menyelesaikan           masalah:

      a. Membuat diagram / gambar. 

Menggambarkan posisi titik A, B, dan C sesuai kondisi masalah.

      b. Menguji masalah yang relevan dan memeriksanya apa dapat digunakan

Memeriksa jika ada satu atau lebih teorema dasar kedudukan titik yang menyerupai masalah ini.

      3.Carrying Out the Plan

      a. Membuat diagram / gambar

                      

      b. Memeriksa jika ada teorema kedudukan titik yang sesuai

Teorema 1.3 : Kedudukan titik-titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector). yang tegak lurus  terhadap ruas garis  dan membagi  menjadi dua bagian sama besar

      4.Looking Back   

Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara:

       a. Memeriksa dengan pembuktian : 

Buktikan teorema 1.3 berdasarkan masalah tersebut secara deduktif.

       b.Menginterpretasikan penyelesaian permasalahan ini berdasarkan argumentasi                 (reasonable) dengan menggunakan koordinat dan aljabar.

        Misalkan koordinat titik C(x, y) di mana d_CA = d_CB dengan koordinat A(x_a, y_a) dan              B(x_b,y_b) maka dapat dibuktikan untuk posisi C di C₁(x₁, y₁), C₂(x₂, y₂), … Cn(x_n, y_n)            yaitu : 

        (a) jika ruas garis  tegak lurus sumbu x maka y₁ = y₂ = … = y_n

        (b) jika ruas garis  tegak lurus sumbu y maka x₁ = x₂ = … = x_n

        Selanjutnya harus dibuktikan bahwa garis C₁C₂ tegak lurus

       Dengan bantuan geogebra dapat dilakukan simulasi untuk menunjukkan solusi  untuk tiga    posisi C yang berbeda-beda

JARAK DUA TITIK PADA BIDANG DATAR

Suatu titik kita misalkan A dan B yang berada pada koordinat berbeda maka Jarak kedua titik tersebut dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1) Buatlah dua titik berbeda yaitu A dan B lalu hubungkan dengan sebuah ruas garis.

2) Buat sebuah garis melalui A dan sebuah garis lain yang melalui B sehingga kedua garis berpotongan tegak lurus.

3) Tentukan titik potong kedua garis yaitu C sehingga diperoleh segitiga siku-siku ACB atau BCA lalu ukur panjang ruas garis CA dan CB

4) Tentukan panjang ruas garis AB dengan menggunakan Teorema Phytagoras:

Pemecahan masalah dengan menggunakan polya

Pemecahan Masalah Polya

Pemecahan masalah (problem solving) merupakan suatu prosedur untuk menemukan penyelesaian yang tepat atas suatu masalah. Prosedur tersebut pertama kali diformulasikan oleh George Polya (1887 - 1985) seorang guru dan ahli matematika yang menyatakan bahwa ada empat tahap pemecahan masalah yaitu :  understand the problem, devise a plan, carry out the plan, dan look back sebagai berikut :

1)        Understanding the Problem

Tahap pertama yang dilakukan untuk memecahkan masalah adalah memahami masalah. Cara yang disarankan Polya untuk memahami masalah dengan baik yaitu dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut :

a.         Nyatakan masalah dengan kalimatmu sendiri !

b.         Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !

c.         Apa saja yang tidak diketahui dari permasalahan itu ?

d.         Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalahan itu ?

e.         Informasi apa saja yang tidak ada / hilang dari permasalahan itu ?

f.          Informasi apa saja yang tidak dibutuhkan dari permasalahan itu ?

2)        Devising a Plan

Tahap kedua pemecahan masalah adalah menentukan rencana penyelesaian berupa strategi-strategi pemecahan masalah. Beberapa strategi pemecahan masalah antara lain :

a.         Menemukan pola

b.         Menguji masalah yang relevan dan memeriksa apakah teknik yang sama dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan

c.         Menguji masalah yang lebih sederhana atau khusus dari permasalahan itu dan diperbandingkan dengan penyelesaian masalah sebenarnya

d.         Membuat tabel

e.         Membuat diagram / gambar

f.          Menebak dan memeriksa (guess and check / trial and error)

g.         Menggunakan persamaan (equation) matematika

h.         Bekerja mundur (work backward)

i.           Mengidentifikasi bagian dari hasil (subgoal)

3)        Carrying Out the Plan

Tahap ketiga pemecahan masalah terdiri dari tiga aktivitas yaitu :

a.         Menerapkan satu atau lebih strategi pemecahan masalah untuk menemukan penyelesaian atau perhitungan

b.         Memeriksa setiap langkah strategi yang digunakan baik secara intuitif maupun dengan bukti formal

c.         Menjaga keakuratan proses pemecahan masalah

4)        Looking Back

Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara :

a.         Memeriksa dengan pembuktian

b.         Menginterpretasikan penyelesaian/solusi berdasarkan permasalahan berdasarkan rasional atau pun argumentasi (reasonable)

c.         Jika memungkinkan lakukan pengujian untuk masalah lain yang relevan atau pun yang lebih umum dengan menggunakan teknik/strategi pemecahan masalah tersebut

Contoh penerapan pemecahan masalah : “Tentukan banyaknya titik potong jika 5 garis saling berpotongan”

Tahap pemecahan masalah :

1)        Understanding the Problem

a.         Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !

Menentukan banyaknya titik potong dari garis-garis yang berpotongan à Ditanyakan

b.         Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalah itu ?

Lima garis saling berpotongan, misalnya garis a, b, c, d, dan e à Diketahui

2)        Devising a Plan

Strategi yang dipilih untuk menyelesaikan masalah ini yaitu :

a.       Membuat diagram / gambar

Pertama akan dibuat dua garis berpotongan yaitu a dan b. Kemudian akan digambar garis ketiga yaitu c yang memotong garis a dan b dan seterusnya

b.      Membuat tabel

Berdasarkan gambar akan dibuat tabel yang memuat hubungan antara banyak garis berpotongan dan banyak titik potong

c.       Menemukan pola

Berdasarkan tabel akan ditemukan pola yang tepat untuk masalah ini

3)        Carrying Out the Plan

Tahap ketiga pemecahan masalah yaitu menggunakan strategi untuk memecahkan masalah.

a.       Membuat diagram / gambar

b.      Membuat tabel dan menemukan pola

Banyak garis berpotongan	Banyak titik potong	Pola
2	1	1
3	3	1 + 2
4	6	1 + 2 + 3
5	10	1 + 2 + 3 + 4

Jadi disimpulkan jika lima garis berpotongan satu sama lain maka banyaknya titik potong yang terbentuk adalah 10 titik

4)        Looking Back

Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara :

a.         Menginterpretasikan penyelesaian/solusi berdasarkan permasalahan berdasarkan rasional atau pun argumentasi (reasonable) berikut :

                             i.               Jika dua garis a dan b berpotongan maka terdapat satu titik potong P

                           ii.               Jika garis ketiga c memotong dua garis a dan b yang saling berpotongan di P maka garis ketiga itu memotong masing-masing garis di satu titik yaitu c memotong a di Q dan c memotong b di R sehingga seluruhnya ada tiga titik potong

                         iii.               Jika garis keempat d memotong garis a, b, dan c yang saling berpotongan seerti pada point (ii) maka d memotong a di S, d memotong b di R, dan d memotong c di S sehingga seluruhnya ada 6 titik potong

                         iv.               Dengan demikian jika garis kelima e memotong garis a, b, c dan d yang saling berpotongan maka seluruhnya ada 6 + 4 = 10 titik potong

b.         Melakukan pengujian untuk banyaknya titik potong dari 10 garis berpotongan

Pola yang diperoleh sebagai berikut :

2 garis berpotongan menghasilkan 1 titik potong

3 garis berpotongan menghasilkan 1 + 2 = 3 titik potong

4 garis berpotongan menghasilkan 1 + 2 + 3 = 6 titik potong

5 garis berpotongan menghasilkan 1 + 2 + 3 + 4 = 10 titik potong

Dengan demikian :

10 garis berpotongan menghasilkan 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 titik potong