Parabola

Parabola adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik dan suatu garis tertentu. 

1. Persamaan puncak parabola adalah y=2px

2. Jika titik O(0,0) adalah puncak parabola

3. F (1/2p, 0) adalah titik api.

4. Garis x = -1/2 p adalah garis arah(direktris), p disebut parameter parabola

5. Eksentrisitas numerik parabola adalah e = 1

Untuk parabola dengan puncak p(a,b) dan sumbu simetrinya sejajar sumbu x persamaannya adalah

 Jika sumbu simetri berimpit dengan sumbu x, titik puncak parabola berimpit dengan titik O  parabolanya terletak pada setengah bidang sebelah kiri, maka persamaan parabolanya

Jika sumbu simetri berimpit dengan sumbu y, titik puncak parabola berimpit dengan titik O parabolanya terletak pada setengah bidang sebelah atas maka persamaan parabolanya adalah

Jika sumbu simetri berimpit dengan sumu y, titik puncak parabola berimpit dengan titik O dan parabolanya terletak pada setengah bidang sebelah bawah, maka persamaan parabolanya adalah

Garis singgung parabola

Garis singgung di suatu titik pada parabola membagi dua sama besar sudut antara garis yang menghubungkan titik singgung dengan titik api dan garis yang melalui titik singgung sejajar dengan sumbu x.

pada parabola 

persmaan garis singgung nya adalah

Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu tetap. Dua titik tertentu itu disebut fokus hiperbola.Jika jarak kedua titik tertentu tersebut adalah d, maka selisih jarak tersebut leih kecil dari d. Untuk setiap iik T berlaku | TF2-TF1 | = d

F1 dan F2 adalah titik fokus hiperbola

C dan B adalah titik-titik puncak

Misalkan titik-titik fokus, F1,F2 pada sumbu x dan sumbu dari F1F2 adalah sumbu y. Jika |F1F2| = 2c maka F1(-c,0) dan F2(c,0). Misalkan selisih jarak yang tetap itu adalah 2a dengan a < c.

Dengan P(x,y) sebarang titik yang memenuhi definisi, yaitu:

ellips

ellips adalah himpunan semua titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu tetap besarnya .tempat kedudukan titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah sama/tetap .dua titik tertentu tersebut di kenal dengan istilah titik fokus atau titik api.jumlah jarak yang tetap tersebut = 2a,a>0

• F1 dan F2 di sebut titik titik api atau fokus
• AB di sebut sumbu mayor
• CD di sebut sumbu pendek
• titik titik A,B, dan C di sebut puncak ellips 
• Ti merupakan sembarng titik pada ellips

Misal titi fokus F1,F2 pada sumbu x dan sumbu dari F1F2 adalah sumbu y. jika |F1F2|=2c maka F1(c,0) dan F2(-c,0). misalkan jumlah jaran yang tetap itu adalah 2a dengan a>c

Ambil T(x,y) sebarang titik yang memenuhi Definisi, yaitu :

maka di dapat persamaan ellips adalah

Untuk sumbu utama horizontal, jika bergerak persimpangan sumbu x dan y ke titik (h,k) akan kita dapatkan:

garis singgung ellips

Garis singgung disuatu titik pada elips yang membagi dua sama besar sudut antara garis penghubung.

maka persamaan ellips dengan gradien m

dan untuk persamaan garis singgung di titik pusat P(α,β) 

irisan kerucut sebagai kurva berderajat dua

di misalkan sebuah kerucut dapat dipotong dengan berbagai cara ,maka hasil perpotongan kerucut akan diperoleh sebuah bidang perpotongan. . Hasil irisan pada kerucut tersebut akan membentuk sebuah kurva yang secara umum disebut irisan kerucut (conic section).adapun Bentuk-bentuk irisan keruct seperti yang ditunjukkan pada gambar

Adapun Hasil irisan kerucut memperlihatkan kedudukan titik-titik akan bergerak dengan rasio jarak tertentu dari sebuah titik tetap dan garis tetap sehingga terbentuk irisan kerucut.

Irisin kerucut juga memiliki komponen komponen antara lain yaitu;

1. Esentrisitas (e)

Esentrisitas adalah perbandingan jarak titik fokus ke suatu titik dengan jarak titik tersebut ke garis direktris.

2. Direktris (d)

Direktris adalah sebuah garis yang memiliki jarak terhadap titik fokus

3. Titik Fokus (F)

untuk lebih jelas nya dapat di lihat pada gambar berikut

Perbandingan jarak d dan d` di sebut esentrisitas (e). 
jika d = d' maka e = 1
jika d > d' maka e > 1

jika d < d' maka e < 1

nilai esentrisitas (e) akan menentukan jenis dari irisan kerucut itu sendiri jika Parabola maka e=1,Elips e<1 dan Hiperbola maka e>1

untuk kurva berderajat dua memiliki persamaan umum sebagai berikut

Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0

dengan nilai koefisien A, B, dan C ketiganya tidak bersamaan bernilai nol.

Semua persamaan berderajat dua seperti di atas, pada sistem koordinat persegi panjang akan merepresentasikan sebuah kurva yang dinamakan irisan kerucut (conic). Bentuk persamaan kurva berderajat dua juga dapat dinyatakan sebagai berikut :

ax2 + by2 + 2hxy + 2gx + 2fy + c = 0

dengan nilai koefisien a, b, dan h ketiganya tidak bersamaan bernilai nol.

Jika kurva berderajat dua melalui titik (0, 0) maka diperoleh persamaan kurva yaitu :

Ax2 + By2 + Dx + Ey + F = 0

dengan nilai koefisien A dan B keduanya tidak bersamaan bernilai nol

atau

ax2 + by2 + 2gx + 2fy + c = 0

dengan nilai koefisien a dan b keduanya tidak bersamaan bernilai nol.