Persamaan kutub dan grafiknya

Grafik garis lurus yang melalui titik asal dan membentuk sudut θ dengan sumbu kutub.

garis lurus m yang berjarak d dari kutub (d>0) dann θ adalah sudut antara sumbu kutub dan garis yang tegak lurus dari kutub pada garis m. tentukan persamaan kutub untuk garis m

Dengan mengambil sembarang titik P(r,θ) pada garis m. Pada segitiga OTP dengan <POT = θ-θo maka berlaku

cos (θ-θo) = d/r
r = d / cos (θ-θo)

Karena P (r, θ) sembarang titik pada garis m dan berlaku hubungan tersebut, maka untuk setiap titik pada garis m berlaku hubungan itu.

Jadi persamaan kutub untuk garis lurus yang berjarak d dari kutub dan normalnya membentuk sudut θo dengann sumbu kutub adalah

Limason dan Kardioda

     r = a ± b cos θ , r = a ± b sin θ dengan a,b konstanta yang positif

Lemniskat

     r²= ± a cos 2θ,  r²= ± a sin 2θ dengan a suatu konstanta positif

 Mawar

    r=  a cos nθ , r=  a sin nθ dengan a suatu konstanta

Spiral

     r = aθ dengan a konstanta

Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu tetap. Dua titik tertentu itu disebut fokus hiperbola.Jika jarak kedua titik tertentu tersebut adalah d, maka selisih jarak tersebut leih kecil dari d. Untuk setiap iik T berlaku | TF2-TF1 | = d

F1 dan F2 adalah titik fokus hiperbola

C dan B adalah titik-titik puncak

Misalkan titik-titik fokus, F1,F2 pada sumbu x dan sumbu dari F1F2 adalah sumbu y. Jika |F1F2| = 2c maka F1(-c,0) dan F2(c,0). Misalkan selisih jarak yang tetap itu adalah 2a dengan a < c.

Dengan P(x,y) sebarang titik yang memenuhi definisi, yaitu:

Persamaan Normal sebuah garis

Garis normal adalah sebuah garis yang memotong sumbu x dan sumbu y akan tegak lurus terhadap sebuah ruas garis yang melalui titik asal (0,0). 

                                                   

                                             

      Gambar tersebut memperlihatkan sebuah garis l yang memotong sumbu x di A(a, 0) dan tegak lurus terhadap ruas garis 𝑅𝑂 ̅̅̅̅ di mana O(0, 0) dan R titik pada garis l. Besar sudut b menyatakan ukuran sudut inklinasi garis RO. Garis RO disebut garis normal dari garis l. Sedangkan nilai p menunjukkan panjang ruas garis.Sudut 𝛽 merupakan sudut apit normal. Untuk menentukan besar sudut apit normal, kita dapat menggunakan sudut inklinasi, yaitu : 𝛽 = α – 90°.

dalam menentukan panjang garis normal dapat di lakukan dengan berbagai cara di antara nya adalah dengan rumus

Persamaan umum Garis ,gradien ,dan sudut inklinasi

Sebelum membahas Persamaan umum Garis ,gradien ,dan sudut inklinasi  apa itu garis yang selama ini kita sering dengar kita baca sehari sehari ? sebuah Garis dibentuk oleh paling sedikit dua buah titik berbeda. Sebagai suatu himpunan, garis merupakan himpunan titik-titik yang tak hingga dan tak berbatas sehingga garis tidak memiliki dimensi panjang. Jika garis dibentuk oleh titik A dan B maka garis tersebut dapat dinamakan sebagai garis AB. Notasi lain untuk penamaan garis yaitu menggunakan huruf kecil misalnya g, h, l, m dan sebagainya. Sebuah garis juga disebut kurva berderajat satu yang dinyatakan sebagai :

Ax + By + C = 0 untuk A, B, C bilangan riil dan x, y variabel bilangan riil

Sebuah garis dapat ditentukan persamaan kurva berderajat satu seperti di atas apabila diketahui tiga buah titik yang dilalui oleh garis tersebut.

Contoh 1

Sebuah garis yang melalui titik A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis tersebut ditentukan sebagai berikut.

Langkah 1) Substitusi koordinat titik ke dalam persamaan kurva

     Garis melalui A(1, 2) => A(1) + B(2) + C = 0 Þ A + 2B + C = 0 ----------------------------  pers. 1

     Garis melalui B(-3, 4) => A(3) + B(-4) + C = 0 Þ -3A + 4B + C = 0 ------------------------  pers. 2

     Garis melalui C(5, 0) => A(5) + B(0) + C = 0 Þ 5A + C = 0 ----------------------------------  pers. 3

Langkah 2) Membuat sistem persamaan linier tiga variabel 

−𝐴+2𝐵+𝐶=0

3𝐴+4𝐵+𝐶=0

5𝐴+𝐶=0

Langkah 3) Menyelesaikan sistem persamaan linier

Penyelesaian sistem persamaan linier di atas yaitu :

A = 1, B = 2 dan C = -5

Maka pers

amaan kurva berderajat satu untuk garis yang melalui A(1, 2), B(-3, 4), dan C(5, 0) yaitu x + 2y - 5 = 0

Sketsa garis tersebut pada sistem koordinat Cartesius seperti gambar di atas.

adapun jika kita menyelesaikan dengan persamaan y=ax+b maka

Dimisalkan persamaan garis adalah y = ax+b

-          Subtitusikan titik A ke persamaan garis :

2 = a+b ………... (1)

-          Subtitusikan titik B ke persamaan garis :

4 = -3a+b …….... (2)

-          Eliminasikan persamaan (1) dan (2)

2 =    a+b

4 = -3a+b -

                 -2 = 4a

                 a = -1/2

-          Subtitusikan a = -1/2 ke salah satu persamaan

2 = (-1/2)+b

b = 5/2

          Sehingga didapatkan persamaan y = -a/2 + 5/2