SELAMAT DATANG DI MURAKOK.BLOGSPOT.CO.ID

semoga isi blog ini dapat menambah wawasan dalam pembelajaran matematika khususnya 

pada Geometri Analitik

PERSAMAAN BIDANG DATAR

Ax + By + Cz + D = 0 dimana A² + B² + C² ≠ 0
adalah persamaan pada koordinat kartesius  tiga dimensi

Jika diketahui dua bidang, yaitu A1x + B1y + C1z = D dan A2x + B2y + C2z = D, maka:

1.Jika θ adalah suatu sudut antara dua bidang ini, maka

2.      Dua bidang tersebut saling tegak lurus, apabila

3.      Dua bidang tersebut sejajar, apabila

4.      Dua bidang tersebut berimpitan, apabila

Jika d adalah jarak titik P(x1, y1, z1) ke bidang Ax + By + Cz = D maka

Persamaan bidang yang letak/posisinya istimewa.

• Ax = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan bidang yz, asal A tidak sama dengan nol
• By = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan bidang xz, asal B tidak sama dengan nol
• Cz = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan bidang xy, asal C tidak sama dengan nol
• x = 0 , y = 0 , z = 0 berturut-turut adalah persamaan bidang yz, bidang xz dan bidang xy
• Ax + By + Cz = 0 adalah persamaan bidang yang melalui titik asal o
• Ax + By = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan sumbu z
• Ax + Cz = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan sumbu y
• By + Cz = D adalah persamaan bidang yang sejajar dengan sumbu x

TUGAS

Apakah terdapat titik potong pada persamaan berikut:

Bidang P(1,2,3) Tegak Lurus dengan vektor n = <3,2,1>

Penyelesaian:

untuk

Titik potong terhadap sumbu x, maka z = 0

x = 6

sehingga (6,0,0)

Titik potong terhadap sumbu z, maka x = 0

z = 3

sehingga (0,0,3)

Titik potong terhadap sumbu x, maka y = z = 0

x = 4

sehingga (4,0,0)

Titik potong terhadap sumbu y, maka x = z = 0

y = -2

sehingga (0,-2,0)

Titik potong terhadap sumbu z, maka x = y = 0

z = 2

sehingga (0,0,2)

Dari persamaan bidang (1,2,3) tegak lurus vektor n = <3,2,1> didapatlah persamaannya:

Titik potong terhadap sumbu x, maka y = z = 0

x = 3,3

sehingga (3,3;0;0)

Titik potong terhadap sumbu y, maka x = z = 0

y = 5

sehingga (0,5,0)

Titik potong terhadap sumbu z, maka x = y = 0

z = 10

sehingga (0,0,10)

maka dapat disimpulkan bahwa tiga bidang yang terbentuk memiliki titik potong.

Vektor dalam ruang dimensi

dalam dimensi tiga suatu titik dinyatakan dengan tiga komponen, yaitu

1. absis 
2. ordinat
3. aplikat 

Misalnya B(x1, y1, z1). Vektor posisi (terhadap titik O) untuk titik B adalah a = < x1, y1, z1> = x1i, y1j, z1k.

PANJANG VEKTOR
Misalkan terdapat vektor a = < a1 , a2 , a3 > maka kita dapat mengetahui panjangnya dengan rumus :

PERKALIAN TITIK PADA VEKTOR
Jika u = < u1, u2, u3> dan v = < v1, v2, v3>, maka perkalian titiknya


Dengan θ adalah sudut yang dibentuk oleh u dan v dan serta 0 ≤ θ ≤ phi
Dari definisi diatass didaptkan rumus sudut yang dibentuk oleh vektor u dan v yaitu,


PERKALIAN VEKTOR
Jika u = < u1, u2, u3> dan v = < v1, v2, v3> maka perkalian kedua vektor adalah,


HASIL KALI SILANG DUA VEKTORPerkalian silang dua vektor a = a1i + a2j + a3k dan b = b1i + b2j + b3k didefinisikan sebagai berikut,




Dengan θ adalah sudut yang dibentuk kedua vektor dan u adalah vektor satun yang tegak lurus pada a dan b.

Sistem koordinat kartesius tiga dimensi

koordinat kartesius dua dimensi yang kita ketahui, yaitu sistem koordinat yang terbentuk oleh dua garis yang saling tegak lurus nah kini kita akan mempelajari Koordinat kartesius dalam dimensi tiga,maksudnya adalah tiga garis lurus yang saling tegak lurus yang dinamakan sumbu x, sumbu y, dan sumbu z. Dari ketiga sumbu tersebut dapat ditentukan tiga bidang yaitu bidang xy, bidang xz dan bidang yz. 

Ketiga bidang membagi ruang menjadi delapan oktan, yaitu oktan-oktan I, II, III, IV, V, VI, VII dan VIII. Oktan-oktan I, II, III, dan IV berada diatas bidang xy. Sedangkan oktan-oktan V, VI, VII dan VIII berada dibawah bidang xy seperti gambar di atas

Oktan I            : (x⁺ , y^+, z⁺)                                         Oktan V          : (x⁺ , y^+, z^-)

Oktan II          : (x⁺ , y-^, z⁺)                                          Oktan VI         : (x⁺ , y^-, z^-)

Oktan III         : (x^- , y^-, z⁺)                                           Oktan VII       : (x^- , y^-, z^-)

Oktan IV         : (x^- , y^+, z⁺)                                          Oktan VIII      : (x^- , y^+, z^-)

dalam membuat titik di dimensi tiga adapun cara yang di perlukan dalam membuat P(x,y,z)

1. proyeksi bidang xy, z = 0

    A(x,y,0)

2. proyeksi bidang xz, y = 0

    B(x,0,z)

3. proyeksi bidang yz, x = 0

    C(0,y,z)

Jarak antar Titik

di misalkan

 kita akan menentukan jarak titik asal O ke titik P (x₁, y₁, z^­­₁).

|OA| = x₁

|AB| = y₁

|BP| = z₁

Perhatikan segitiga AOB yang siku-siku di A, maka :

|OB|² = |OA|² + |AB|²

|OB|² = x₁² + y₁²

Kemudian perhatikan pada segitiga OBP yang siku-siku di B berlaku bahwa :

|OP|² = |OB|² + |BP|²

|OP|^{2 =} x₁² + y₁² + z₁² (jika jarak O ke P(x₁,y₁,z₁))

Sehingga kita dapatkan bahwa untuk mencari jarak dari titik asal ke suatu titik adalah

maka dalam menentukan jarak ttitk dapat di gunakan rumus

Vektor dalam bidang

Vektor adala himpunan ruas garis berarah yang mempunyai besar dan arah yang sama.

Vektor digambarkan seperti anak panah (ruas garis berarah). Panjang ruas garis menyatakan besarnya vektor dan arah anak panah menyatakan arah vektor. 

pada gambar diatas, ruas-ruas garis berarah mempunyai besar dan arah sama, maka vektor itu dapat dinyatakan dengan simbol u atau dengan dua huruf besar. misalnya AB (diberi tanda panah diatas atau dibawah) ini dimaksudkan vektor dengan titik pangkal A dan titik ujung B. vektor ini dinamakan vektor bebas.

Suatu vektor yang titik pangkalnya tertentu dan vektor lainnya harus mempunyai titik pangkal tertentu, maka vektor dinamakan vektor posisi (vektor letak)

vektor di R2 adalah vektor yang terletak di satu bidang
atau Vektor yang hanya mempunyai dua komponen yaitu x dan y

Vektor di R3 adalah Vektor yang terletak di

ruang dimensi tiga  Vektor yang mempunyai tiga komponen yaitu x, y dan z

Penjumlahan Vektor
a. cara segitiga
untuk memperoleh jumlah dua vektor u dan v, yaitu u + v, gambarlah vektor v yang titik pangkalnya berimpit dengan titik ujung vektor u. Maka u + v adalah vektor yang menghubungkan titik pangkal u dan titik ujung vektor v .

b. cara jajarangenjang

cara ini dengan menggambarkan vektor v sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik pangkal vektor u. selanjutnya dibuat garis dari ujung u sejajar v dan garis dari ujung v sejajar u, sehingga didapat bangun jajaran genjang. Maka u + v adalah vektor yang bertitik  pangkal berimpit dengan titik pangkal u dan berimpit diagonal jajaran genjan

Pengurangan Vektor
Pengurangan vektor aadalah u - v = u + (-v). sehingga digambarkan sebagai berikut :

Teorema :

untuk sebarang vektor u, v dan w dan sebarang skalar a dan b berlaku sifat-sifat berikut 

perkalian vektor

Teorema hasil kali titik

untuk sebarang vektor u, v dan w dan k suatu skalar berlaku sifat-sifat berikut ini 

persamaan parametrik

Bentuk umum persamaan parametri dari suatu kurva bidang adalah

kurva bidang ada 4 macam, yaitu:
(1) Kurva tertutup sederhana
(2) Kurva tertutup tidak sederhana
(3) Kurva tidak tertutup sederhana
(4) Kurva tidak terp dan tidak sederhana

Suatu kruva dikatakan tertutup apabila titik ujung pangkalnya berimpit. Suatu kurva dikatakan sederhana, apabila kurva tersebut tidak mempunyai titik potong (dua nilai atau lebih memberikan titik titik yang sama).

Persamaan parametrik suatu kurva dapat dinyatakan ke dalam persamaan Kartesius dengan cara melenyapkan parameternya. Untuk meletutunyapkan parameternya, kadang menggunakan cara substitusi atau menentukan hubungan dari parameternya.
Setiap persamaan Kartesius dapat dinyatakan sebagai persamaan parameternya dan sebaliknya kadang kadang suatu kurva dapat dinyatakan dengan persamaan parameternya yang sederhana, tetapi jika dinyatakan dalam persamaan Kartesius menjadi lebih rumit. Kurva dari suatu persamaan parametrik merupakan kurva berarah.

Persamaan kutub dan grafiknya

Grafik garis lurus yang melalui titik asal dan membentuk sudut θ dengan sumbu kutub.

garis lurus m yang berjarak d dari kutub (d>0) dann θ adalah sudut antara sumbu kutub dan garis yang tegak lurus dari kutub pada garis m. tentukan persamaan kutub untuk garis m

Dengan mengambil sembarang titik P(r,θ) pada garis m. Pada segitiga OTP dengan <POT = θ-θo maka berlaku

cos (θ-θo) = d/r
r = d / cos (θ-θo)

Karena P (r, θ) sembarang titik pada garis m dan berlaku hubungan tersebut, maka untuk setiap titik pada garis m berlaku hubungan itu.

Jadi persamaan kutub untuk garis lurus yang berjarak d dari kutub dan normalnya membentuk sudut θo dengann sumbu kutub adalah

Limason dan Kardioda

     r = a ± b cos θ , r = a ± b sin θ dengan a,b konstanta yang positif

Lemniskat

     r²= ± a cos 2θ,  r²= ± a sin 2θ dengan a suatu konstanta positif

 Mawar

    r=  a cos nθ , r=  a sin nθ dengan a suatu konstanta

Spiral

     r = aθ dengan a konstanta

Koordinat kutub

Dalam sistem koordinat kutub hanya menggunakan sebuah sinar garis sebagai patokan muka, biasanya garis ini digambar mendatar dan mengarah ke kanan seperti tampak pada gambar dibawah ini. Garis ini dinamakan sumbu kutub, sedangkan titik pangkalnya yang biasa diberi nama dengan huruf O disebut Kutub atau titik asal.

Sebuah titik P  dinyatakan kedudukan oleh jarak titik O ke P dan sudut antara garis OP dan sumbu kutub, maka (r,θ) adalah sepasang koordinat kutub dari titik P. Selanjutnya r disebut jari-jari penunjuk dari P atau radius vektor dari P. Sedangkan θ disebut argumen dari P atau sudut kutub dari P

Hubungan sistem koordinat kartesius dan sisitem koordinat kutub adalah

Koordinat Kutub	Koordinat Kartesius
P(r,θ)	P(x,y)
r = f(θ)	y = f(x)

CONTOH 1 

di ketahui koordinat kartesius A(1,2)

ditanya koordinat kutub

  CONTOH 2

Diketahui : <xOB = 135⁰  dan r = 4                                   

Ditanya : Tentukanlah koordinat B pada koordinat kartesius.

Penyelesaian :

x = r cos θ                                  y = r sin θ

x = 4 cos 135⁰                                     y = 4 sin 135⁰

x = 4 (-0,707)                             y = 4 (0,707)

x = -2,828                                  y = 2,828

Sehingga koordinat kartesius B adalah (-2,828 ; 2,828)